У найпростішому випадку достатньо визначити зображення як розподіл деякої величини на частині поверхні або, іншими словами, як функцію В (x, y), де незалежні змінні x і y можуть бути змінені в заданих межах. При цьому під можна розуміти яскравість, освітленість, щільність струму в електронних пучках, величину збудження нервової клітини.
У більш складних випадках зображення будуть представлені функцією трьох незалежних змінних (х, у, t) (рухомі зображення) або декількома функціями цих змінних (об'ємні, кольорові зображення).
Навіть якщо (x, y) є неперервною функцією, реальні зображення завжди можна розбити на кінцеве число дискретних елементів. Зокрема, так йде справа у випадках, коли зображення створюється оптичним приладом, наприклад оптичною системою ока. В таких випадках із-за кінцевою роздільної здатності оптичного приладу можна говорити лише про деякому середньому значенні яскравості всередині елементів, порівнянних за розміром з гуртком розсіювання. Розглянемо дещо детальніше.
Нехай для вимірювання роздільної здатності оптичного приладу, що створює безперервні зображення, буде використана світу, в якій зміна яскравості відбувається за синусоїдальним законом
(26)
Розподіл яскравості в такий оптичної світі показано на рис. 24. Що входить у формулу (26) параметр v = 1/a , який можна назвати частотою, що дорівнює числу темних (або білих) штрихів на одиницю довжини.
Рис. 24. Розподіл яскравості в «синусоїдальної» оптичної світі.
Роздільною здатністю W назвемо то максимальне число штрихів vмакс, що припадає на одиницю довжини, яке ще може бути дозволено приладом.
Спочатку спрощено припустимо, що контраст зображення синусоїдальної світи,* відтвореного оптичним приладом, залишається постійним, поки v≤W, і стає рівним нулю, як тільки v перевершить W. Тоді може бути використана важлива теорема, встановлена стосовно до теорії зв'язку Котельниковим (1933). Вона зводиться в даному випадку до твердження, що вздовж осі х зображення, створене оптичною системою з вказаним обмеженням роздільної здатності, може бути однозначно вказано значеннями яскравості тільки в точках, наступних одна за одною через інтервали, рівні 1/2W (рис. 25). У всіх інших точках на цій лінії яскравість визначиться зазначеними дискретними відліками. При формуванні зображення оптичною системою з обмеженою роздільною здатністю відбувається як би згладжування розподілу яскравості у вихідному зображенні. В(х) можна незалежно задавати тільки в точках дискретних відліків, а між ними інтерполяція кривої розподілу яскравості В(х) проводиться єдиним чином. На одиницю довжини доведеться 2W таких незалежних відліків.
Такі ж міркування можуть бути проведені і стосовно напрямку, паралельному осі y.
Рис. 25. Завдання яскравості дискретними відліками.
Суцільною лінією показано розподіл яскравості вздовж осі у вихідному зображенні, переривчастою - після оптичної системи з обмеженою роздільною здатністю. Відліки показано вертикальними лініями.
Строго кажучи, умова повного контрасту при v≤W і відсутності контрасту при v>W не виконується. Насправді відбувається плавне зменшення контрасту зі збільшенням v. Однак кількість незалежних дискретних відліків, визначене при цьому спрощеному умови, може служити хорошим наближенням.**
Таким чином, безперервне світлове зображення зводиться до дискретної сукупності значень яскравості в точках відліку. Загальне число цих відліків, що визначають безперервне зображення після оптичної системи з заданою обмеженою роздільною здатністю, легко знаходиться. Це число дискретних відліків, кожен з яких може незалежно змінюватися, іноді називають числом ступенів свободи оптичного зображення (Toraldo di Francia, 1955) за аналогією з числом ступенів свободи в безперервному сигналі з обмеженою смугою частот (Shannon a. Weaver, 1949).***
Значення B в реальних зображеннях можуть бути визначені лише з обмеженою ступенем точності. Умовимося, що величина може приймати лише кінцеве число значень, яке позначимо через m. **** Величина т в разі звичайних оптичних зображень має сенс числа помітних градацій яскравості. У багатьох випадках m відразу задається як дискретна величина. Наприклад, в лінійних (графічних) зображеннях яскравість може мати два значення (біле і чорне), тобто m=2,
** Огляд робіт, що належать до теоремою Котельникова та умов її застосування, є у статті Харкевича (1958).
*** Це число ступенів свободи в сигналі, що має тривалість Т і ширину смуги частот W, одно 2WT - числа незалежних відліків, які, згідно з теоремою Котельникова, повністю визначають цей сигнал.
***** Ми залишаємо осторонь складне питання про кількість інформації в безперервному сигналі, відомому з обмеженою ступенем точності (Колмогоров, 1956).
